Занятие №1. Предикаты

1. Запишите формулы логики предикатов для приведенных ниже утверждений:
   1. Каждый студент изучает или английский, или немецкий, или французский язык.
   2. Некоторые устройства укомплектованы осциллографами.
   3. Не все телевизоры работают хорошо.
   4. Ни один прибор не оказался забракованным.
   5. Все рабочие, которые выполнили задание, получили премии.
   6. Ни одному лысому не нужна расческа.
   7. Все мои тетки не справедливы.
   8. Ни один кошмарный сон не приятен.
   9. Все битвы сопровождаются страшным шумом.
   10. Не все двоечники ленивы.
   11. Каждый, кто упорно работает, добивается успеха.
   12. Ни один бездельник не станет знаменитостью.
   13. Некоторые художники не бездельники.
   14. Некоторые бездельники не художники.
   15. Некоторые подушки мягкие.
   16. Тот, кто может укрощать крокодилов, заслуживает уважения.
   17. Ни одна лягушка не имеет поэтической внешности.
   18. Ни одна тачка не комфортабельна.
   19. Всякий орел умеет летать.
   20. Некоторые свиньи не умеют летать.
   21. Некоторые свиньи - не орлы.
   22. Ни один судья не справедлив.
   23. Ни один ребенок не любит прилежно заниматься.
   24. Все шутки для того и предназначены, чтобы смешить людей.
   25. Ни один парламентский акт не шутка.
   26. Пауки ткут паутину.
   27. Все лекарства имеют отвратительный вкус.
   28. Ни у одной ящерицы нет волос.
   29. Все свиньи прожорливы.
   30. Все, что сделано из золота, драгоценно.
   31. Некоторые секретари - птицы.
   32. Все секретари заняты полезным делом.
   33. Ничто разумное не ставит меня в тупик.
   34. Логика часто ставит меня в тупик.
   35. Некоторые цыплята - не кошки.
   36. Точки А, В и С являются вершинами равнобедренного треугольника.
   37. Иванов, Петров, Васильев и Сидоров могут вытащить эту машину из ямы, если они трезвы и видят бутылку.
   38. Иванов, Петров, Васильев и Сидоров не могут решать квадратные уравнения, даже если они трезвы, но видят бутылку.
   39. Не все углы, синус которых больше 1/2, больше π/6.
   40. Квадратные корни из некоторых рациональных чисел иррациональны.
   41. Синус и косинус равны друг другу тогда и только тогда, когда равны тангенс и котангенс.
   42. Когда кто-то поет больше часа, он надоедает.
   43. Все девочки боятся лягушек и мышей.
   44. Кошки бывают только белые и серые.
   45. Все ораторы либо честолюбивы, либо скучны.
   46. Число делится на 25 в том и только в том случае, когда оно делится на 50 либо дает при делении на 50 остаток 25.
   47. Все комплексные числа действительны или становятся действительными после умножения на i.
   48. Не все студенты отличники или спортсмены.
   49. Не все, что рассказывал барон К.Ф.И. фон Мюнхгаузен, ложь.
   50. Некоторые людоеды - плохие люди.
   51. Некоторые финансисты - мошенники, но не все.
   52. Прапорщики любят порядок, и не только они.
   53. Милиционеры замешаны в преступлениях, но не все.
   54. Некоторые замки не отпираются, но запираются.
   55. Если будешь хорошо учиться, поступишь в вуз, а иначе провалишься.
   56. Ничего не вижу, ничего не слышу, ничего не знаю.
   57. Молодо - зелено.
   58. Взялся за гуж - не говори, что не дюж.
   59. Чтобы не быть собакой, достаточно быть кошкой.
   60. Чтобы не быть человеком, необходимо быть свиньей.
   61. Некоторые кошки поют по ночам.
   62. Все компакты совершенно нормальны.
   63. Некоторые мюмзики не куздры.
   64. Три точки А, В, С лежат на одной окружности.
   65. Три точки А, В, С не лежат на одной прямой.
   66. Числа х и у имеют одинаковый знак.
   67. Одно из чисел х и у равно 0.
   68. Числа х и у имеют разные знаки.
   69. Ромео и Джульетта любят друг друга.
   70. Гамлет и Клавдий ненавидят друг друга.
   71. Мери любила Печорина, но не взаимно.
   72. Чтобы прийти на свадьбу, необходимо приглашение жениха или невесты.
   73. Некоторые лентяи не оптимисты, но жизнелюбы.
   74. Все замки отпираются и запираются.
   75. Никто из нашего класса не поехал в Москву и Париж.
   76. Все мои одноклассники поехали в Москву и Париж.
   77. Некоторые числа четные.
   78. Некоторые лекции невозможно понять.
   79. Всякому в Москве не перекланяешься.
   80. Все люди смертны. Сократ есть человек. Следовательно, Сократ смертен.
   81. Всякое нечетное натуральное число является разностью двух квадратов. 5 является нечетным натуральным числом. Значит, 5 является разностью двух квадратов.
   82. Когда я устал и голоден, я хочу вернуться домой. Сейчас я устал и голоден. Значит, я хочу вернуться домой.
   83. Каждый любит сам себя. Значит, кто-то кого-нибудь любит.
   84. Ни одно животное не бессмертно. Кошки - животные. Значит, некоторые кошки не бессмертны.
   85. Перья есть только у птиц. Ни одно млекопитающее не является птицей. Значит, все млекопитающие лишены перьев.
   86. Имеются прилежные студенты. Ни один студент не лишен способностей. Значит, некоторые студенты, лишенные способностей, не прилежны.
   87. Все политики - лицедеи. Некоторые лицедеи - лицемеры. Значит, некоторые политики - лицемеры.
   88. Если бы кто-нибудь мог решить эту задачу, то и какой-нибудь математик мог бы. Петр - математик, а не может ее решить. Значит, задача неразрешима.
   89. Всякий математик может решить эту задачу, если кто-нибудь может ее решить. Петр - математик, а не может ее решить. Значит, задача неразрешима.
   90. Всякий, кто может решить эту задачу, - математик. Петр не может ее решить. Значит, Петр - не математик.
   91. Всякий, кто может решить эту задачу, - математик. Ни один математик не может решить этой задачи, Значит, она неразрешима.
   92. Никто не поймет этого сообщения, если кто-нибудь не разгадает кода. Значит, имеется кто-то, кто может понять это сообщение, только если разгадает код.
   93. Ничто плодотворное не легко. Некоторые легкие вещи общедоступны. Значит, некоторые общедоступные вещи не плодотворны.
   94. У нее только преданные друзья. Некоторые из ее друзей - лицемеры. Ни один лицемер не может быть преданным. Значит, все ее друзья - проходимцы.
   95. Этому никто не поверит. Значит, судья этому не поверит.
   96. Глупец был бы способен на это. Я на это не способен. Значит, я не глупец.
   97. Тот, кто распускает это слух, должен быть и ловким и беспринципным. Петр не ловок. Иван не беспринципен. Значит, ни Петр, ни Иван не распускают этот слух.
   98. Все моряки боятся пиратов.
   99. Все жулики боятся милиционеров.
   100. Маленькие девочки боятся зубных врачей.
   101. Некоторые зубные врачи боятся маленьких девочек.
   102. Зайцы не всегда глупее лис.

2. Выясните, какие из следующих предикатов являеются тождественно истинными:
   1. sin²x + cos²x = 1;
   2. (x + 1)² > x -1;
   3. x² + 1 ≥ (x + 1)²;
   4. х² + y² ≥ 0;
   5. х² + y² > 0.

3. Даны предикаты P(x) = "x - четное число" и Q(x) = "x кратно 3", определенные на множестве натуральных чисел. Найдите области истинности предикатов:
   1. P(x) & Q(x);
   2. P(x) V Q(x);
   3. ;
   4. P(x) → Q(x);

4. Даны предикаты P(x) = "x² + x + 1 > 0" и Q(x) = "x² - 4x + 3 = 0", определенные на множестве действительных чисел. Установите, какие из следующих высказываний истинны и какие ложны:
   1. "x P(x);
   2. $x P(x);
   3. "x Q(x);
   4. $x Q(x).